\input{../preambules/preDM.tex}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\newcommand{\e}{e}
\usepackage{enumitem}

\begin{document}

\chead{Correction Devoir maison n°9 Bis }
\lfoot{}
\cfoot{Dérivabilité, étude de fonctions et suites.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir maison n°9 Bis}
\end{center}


\begin{exo}[Exercice 19 FExo 14]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[
f(x)= \dfrac{e^x - 1}{e^x +1}.
\]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[
f(x)= \dfrac{e^x - 1}{e^x +1}.
\]
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in \R$, $e^x + 1 \neq 0$ donc 
\begin{center}
\fbox{$D_f = \R$.}
\end{center}

\item La fonction $x \to e^x + 1$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et ne s'annule pas sur $\R$. \\
La fonction $x \to e^x - 1$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$.
\begin{center}
\fbox{Donc la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ en tant que quotient de fonction dérivable. }
\end{center}
\begin{center}
\fbox{ Pour tout $x$ réel, $f'(x) = \dfrac{e^x(e^x+1) - e^x(e^x - 1)}{(e^x +1)^2} = \dfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}$. }
\end{center}
\item On a
$$
f(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x +1} = \dfrac{e^x(1 - e^{-x})}{e^x(1 + e^{-x})} = \dfrac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}}
$$
En utilisant cette forme, $\li_{x \to + \infty} f(x) = 1$ et comme $\li_{x \to - \infty} e^x = 0$, $ \li_{x \to - \infty} f(x) = -1$. Enfin, la fonction $f'(x)$ est strictement positive donc la fonction $f$ est strictement croissante. On trace les variations de la fonction $f$. 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$/1,Variations de $f$/2}{$-\infty$,$+\infty$} 
\tkzTabVar{-/-1, +/1} 
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La fonction $f'$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonction dérivable. On calcule alors pour tout $x \in \R$,
\begin{align*}
f''(x) & = \dfrac{2e^x(e^x+1)^2 - 2e^x \times 2e^x (e^x +1)}{(e^x +1)^4} \\
& = \dfrac{2e^x(e^{2x}+2e^x +1)- 4e^{2x} (e^x +1)}{(e^x +1)^4} \\
& = \dfrac{2e^{3x} + 4e^{2x} + 2e^x - 4e^{3x} -4e^{2x} }{(e^x +1)^4} \\
& = \dfrac{-2e^{3x}+ 2e^{x} }{(e^x +1)^4} \\
& = \dfrac{-2e^x (e^{2x} - 1)}{(e^x+1)^4}
\end{align*}

Le signe de $f''$ est donnée par l'expression $e^{2x} -1$. Or 
$$
e^{2x} - 1 > 0 \Longleftrightarrow e^{2x} > 1 \Longleftrightarrow 2x > 0 \Longleftrightarrow x >0
$$

La dérivée seconde de $f$ est donc positive sur $]- \infty;0[$ et négative sur $]0;+\infty[$. La dérivée de la fonction $f$ change donc de sens de variation au point $x = 0$.

\begin{center}
\fbox{Le point $x=0$ est un point d'inflexion de $f$. }
\end{center}

\item L'équation de la tangente à $f$ en $0$ est donnée par la formule :
$$
y = f(0) + x f'(0)
$$
c'est à dire
\begin{center}
\fbox{$y = \dfrac{1}{2}x$}
\end{center}

%\item La fonction $f$ est 
%\begin{itemize}
%\item continue sur $\R$ (car dérivable)
%\item strictement croissante
%\item $f(\R) = ]-1,1[$
%D'après le théorème de la bijection, \begin{center}
%\fbox{$f$ réalise une bijection de $\R$ sur $]-1,1[$.}
%\end{center} 
%\end{itemize}
%\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et la dérivée ne s'annule pas sur $\R$, ainsi, la réciproque de $f$ est dérivable sur $]-1,1[$. 
%\item De plus, pour tout $x \in ]-1,1[$,
%$$
%(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}
%$$
%\item On a $f(0) = 0$ donc $f^{-1} (0) = 0$. On a donc 
% \begin{center}
% \fbox{$ (f^{-1})'(0) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{1/2} = 2$}
% \end{center}
%\item Soit $y \in ]-1,1[$. On résout 
%\begin{align*}
%f(x) = y & \Longleftrightarrow \dfrac{e^x - 1}{e^x +1} = y \\
%& \Longleftrightarrow e^x - 1 = y(e^x +1) \\
%& \Longleftrightarrow e^x(1 - y) = y + 1 \\
%& \Longleftrightarrow e^x = \dfrac{y + 1}{1-y} \\
%& \Longleftrightarrow x = \ln\left(\dfrac{y + 1}{1-y} \right) \\
%\end{align*}
%\begin{center}
%\fbox{On en déduit que $f^{-1} : y \to \ln\left(\dfrac{y + 1}{1-y} \right)$. }
%\end{center}
\item Le graphique est le suivant
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Ex17.png}
\end{center} 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Exercice 23 FExo 14]
On souhaite déterminer le nombre de solutions de $(E) : x^3 -3x +1 = 0$ ainsi que la valeur approchée d'une des racines.
\begin{enumerate}
\item On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f :x  \to x^3 -3x+1$. Cette fonction est dérivable sur $\R$ (c'est un polynôme) et 
$$
\forall x \in \R, \quad f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)
$$
On trace son tableau de variation
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$- \infty$,-1,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+, }
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/3,-/$-1$, +/$+\infty$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On a alors :
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est continue sur $]- \infty ; -1[$.
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur $]- \infty ; -1[$.
\item $f(]-\infty ; -1[) = ]- \infty ; 3[$ et $0 \in ]- \infty ; 3[$.
\end{itemize}
D'après le théorème de la bijection, il existe un unique réel $\alpha < -1$ tel que $f(\alpha) = 0$. \\

De la même façon, 
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est continue sur $]-1 ; 1[$.
\item La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-1 ; 1[$.
\item $f(]-1 ; 1[) = ]- 1 ; 3[$ et $0 \in ]- 1 ; 3[$.
\end{itemize}
D'après le théorème de la bijection, il existe un unique réel $-1 < \beta < 1$ tel que $f(\beta) = 0$. \\

\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est continue sur $]1 ; + \infty[$.
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur $]1 ; + \infty[$.
\item $f(]1 ; + \infty[) = ]- 1 ; +\infty[$ et $0 \in ]- 1 ; +\infty[$.
\end{itemize}
D'après le théorème de la bijection, il existe un unique réel $1 < \gamma $ tel que $f(\gamma) = 0$. 
\begin{center}
\fbox{Ainsi, l'équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ admet 3 solutions $\alpha, \beta, \gamma$ vérifiant $\alpha < -1 < \beta < 1 < \gamma$.  }
\end{center}
\item On veut obtenir une approximation de $\beta$. On introduit $\forall x\in \R$, $g(x) =\dfrac{x^3 +1}{3}$ et la suite $u$ définie par $u_0 = 0$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = g(u_n)$. 
\begin{enumerate}
\item On a $f(0) = 1$ et $f(1/2) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} + 1= - \frac{3}{8}$. Ainsi, d'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, \begin{center}
\fbox{$\beta \in [0,1/2]$.  }
Enfin, 
\begin{center}
\fbox{$
g(x) = x \Longleftrightarrow x^3 + 1 = 3x \Longleftrightarrow f(x) = 0
$}
\end{center}
\end{center}
\item La fonction $g$ est dérivable sur $[0,1/2]$ et 
$$
\forall x \in [0,1/2], \quad g'(x) = x^2 \geq 0
$$
La fonction $g$ est croissante et $g(0) = \frac{1}{3}$ et $g(1/2) = \frac{3}{8}$ donc $g([0,1/2]) = [1/3 , 3/8] \subset [0,1/2]$. 
\begin{center}
 \fbox{L'ensemble $[0,1/2]$ est stable par $g$.}
 \end{center} 
De plus $\forall x \in [0,1/2], x^2 \in [0,1/4]$, et donc
\begin{center}
 \fbox{ $\forall x \in [0,1/2], \quad |g'(x)| \leq \dfrac{1}{4}$.}
 \end{center} 
\item On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{ u_n \in [0,1/2]\right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 0$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc $u_n \in [0,1/2]$ et 
$$
u_{n+1} = f(u_n) \in [0,1/2]
$$
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1/2]$. }\\
	\end{itemize}
\item On sait que 
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0,1/2]$
\item Pour tout $x \in [0,1/2]$, $|g'(x)| \leq \dfrac{1}{4}$
\item Pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1/2]$ et $ \beta \in [0,1/2]$.
\end{itemize}
Donc d'après l'inégalité des accroissements finis, 
\begin{center}
\fbox{$
\forall n \in \N$, $|u_{n+1} - \beta| \leqslant \dfrac{1}{4}|u_n - \beta|
$}
\end{center}
On montre par récurrence les propriétés suivantes $\P_n : \left\{ |u_n - \beta| \leqslant \dfrac{1}{4^n}\times \dfrac{1}{2} \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 0$, $\beta \in [0,1/2]$ donc $|u_0 - \beta| \leq \dfrac{1}{2}$ et la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
|u_{n+1} - \beta| & \leqslant \dfrac{1}{4}|u_n - \beta| \\
& \leqslant \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4^n} \times \dfrac{1}{2} \\
& \leqslant \dfrac{1}{4^{n+1}} \times \dfrac{1}{2}
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $|u_n - \beta| \leqslant \dfrac{1}{4^n}\times \dfrac{1}{2}$. }\\
	\end{itemize} 
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
& \dfrac{1}{4^n} \times \dfrac{1}{2} \leq 10^{-9} \\
\Longleftrightarrow \; & \dfrac{1}{4^n} \leq 2 \times 10^{-9} \\
\Longleftrightarrow \; & 4^n \geq \dfrac{10^9}{2} \\
\Longleftrightarrow \; & n \ln(4) \geq  \ln \left(\dfrac{10^9}{2} \right) \\
\Longleftrightarrow \; & n \geq   \dfrac{\ln\left(\dfrac{10^9}{2} \right) }{\ln(4)}
\end{align*} 
On a la relation $|u_n - \beta| \leq 10^{-9}$ pour \begin{center}
\fbox{$n= E\left(  \dfrac{\ln\left(\dfrac{10^9}{2} \right) }{\ln(4)} \right) + 1$}
\end{center}
où $E$ représente la fonction partie entière.
\item Programme Scilab :
\begin{verbatim}

function y = g(x)
    y = (x^3 + 1)/3
endfunction

n = floor(log(2 *10^(-9))/(-log(4))) + 1
u = 0
for k=1:n
    u = g(u)
end

disp('La solution obtenue par la méthode de l''exercice est x = ' + string(u) 
+ '. On a obtenue cette solution pour n = ' +string(n) +'.')

\end{verbatim}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Terrassé par la perte de son fidèle ami Osorno emporté par la déesse Mapuche, et chassé du Villarica par les flammes noires de sa récente éruption, notre jeune condor Puyehue décida de réaliser un voyage initiatique à travers les Andes. Celui-ci  l'amena à rencontrer une jeune condor nommée Chiloé. Et aujourd'hui il songe à sa descendance. Il faut savoir que le condor se reproduit de la manière suivante, il a 2 descendants avec probabilité $p\in]0,1[$, et 0 descendant avec probabilité $1 - p$. On note $X_n$ le nombre de descendants de Puyehue à la $n-ieme$ génération. On s'intéresse à $P(X_n = 0)$, c'est à dire à la probabilité que la lignée de Puyehue soit éteinte à la $n-ieme$ génération.
\begin{enumerate}
\item
Soit $f(x)=px^2+1-p$ une fonction définie sur $[0,1]$ et soit $(u_n)_n$ la suite définie par $\begin{cases}
u_0=0\\
u_{n+1}=f(u_n)
\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et 
$$
\forall x \in \R, \quad f'(x) = 2px 
$$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;+ \infty[$ et décroissante sur $]- \infty ,0[$. 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Variations de $f$/2}{$- \infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/$1-p$,+/$+\infty$}
%\tkzTabVal{1}{2}{1.5}{1}{1}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item
On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{ u_n \in [0,1]\right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 0$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc $u_n \in [0,1/2]$ et 
$$
u_{n+1} = f(u_n) \in [1-p , 1] \subset [0,1]
$$
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1]$. }\\
	\end{itemize}
\item
On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{ u_{n+1} \geq u_n \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 0$ et $u_1 =  1 - p > 0$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc, comme la fonction $f$ est croissante sur $[0,1]$ et que $u_n \in [0,1]$, 
	\begin{align*}
	u_{n+1} \geq u_n & \Longrightarrow f(u_{n+1}) \geq f(u_n) \\
	& \Longrightarrow u_{n+2} \geq u_{n+1}
	\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{La suite $(u_n)$ est croissante. }\\
	\end{itemize}
\item
La suite est croissante majorée, d'après le théorème de convergence monotone, \begin{center}
\fbox{elle est convergente.}
\end{center}  On note $\ell$ sa limite. 
\item
On suppose que $p\leq 1/2$, on résout alors 
\begin{align*}
\ell = f(\ell) & \Longleftrightarrow \ell = p \ell^2 + 1 - p \\
& \Longleftrightarrow p \ell^2 - \ell + 1- p
\end{align*}
On calcule le discriminant d'une telle équation : 
$$
\Delta = 1 - 4 p(1-p) = 4p^2 - 4p +1 = (2p - 1)^2
$$
Or remarquons que $|2p - 1| = 1 - 2p$ car $p \leq 1/2$. Les solutions sont donc 
$$
x_1 = \dfrac{1 - (1 - 2p)}{2p} = 1 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{1 + (1 - 2p)}{2p} = \dfrac{1-p}{p}
$$

Or $1 - p \geq \dfrac{1}{2}$ et donc $ \dfrac{1-p}{p} \geq 1$. Comme $u_n \leq 1$, on a nécessairement que \begin{center}
\fbox{la suite $(u_n)$ converge vers 1.}
\end{center}

\item On suppose désormais que $p>1/2$. Dans ce cas, $\dfrac{1-p}{p} \leq 1$ On montre par récurrence les propositions $\P_n : \left\{ u_n \in [0,(1-p)/p]\right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 0$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
	\begin{align*}
	0 \leq u_n \leq \dfrac{1-p}{p} & \Longrightarrow f(0) \leq f(u_n) \leq f \left( \dfrac{1-p}{p} \right) \\
	& \Longrightarrow 0 \leq u_{n+1} \leq \dfrac{1-p}{p}
	\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \in \left[0,\dfrac{1-p}{p} \right]$. }\\
	\end{itemize}
Les solutions de $\ell = f(\ell)$ ont été calculés précédemment. La suite étant inférieur à $\dfrac{1- p}{p}$ 
\begin{center}
\fbox{on a $\ell = \dfrac{1-p}{p}$.}
\end{center}

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item
On remarque que $X_0=1$. On a $X_1 (\Omega) = \{ 0,2 \}$ avec les probabilités :
\begin{center}
\fbox{$
P(X_1 = 0) = 1 - p, \qquad P(X_1 = 2) = p
$}
\end{center}
On détermine maintenant la loi de $X_2$. A la première génération, Puyehne peut avoir 0 ou 2 descendants. Ces descendants peuvent avoir à leur tour 0 ou 2 descendants. Il y aura donc $0$, $2$ ou $4$ condor à la deuxième génération :
$$ X_2 (\Omega) = \{ 0,2,4 \}. $$

L'évènement $X_2 = 0$ se réalise si Puyehne n'a eu aucun descendants ou si les deux descendants de Puyehne n'ont eu à leur tour aucun descendants. C'est à dire 
$$
(X_2 = 0) = (X_1 = 0) \cup (X_1 = 2 \cap X_2 = 0)
$$

Or $P_{X_1 = 2} (X_2 = 0) = (1-p)^2$. Donc 
\begin{align*}
P(X_2 = 0) & = P(X_1 = 0) + P(X_1 = 2) \times P_{X_1 = 2} (X_2 = 0) \\
& = 1-p + p(1-p)^2  \\
& \boxed{= (1-p)(1 + p - p^2)}
\end{align*} 

L'évènement $X_2 = 2$ se réalise si Puyehne a eu deux descendants et si un des descendant à eu 2 descendants et l'autre 0. Ainsi
\begin{align*}
P(X_2 = 2) & = P(X_1 = 2) \times P_{X_1 = 2} (X_2 = 2) \\
& = p \times 2 p (1-p) \\
&\boxed{ = 2 p^2 (1 - p)}
\end{align*}

\remarque{Ne pas oublier de multiplier par 2 pour prendre en compte le fait que ça peut être l'un ou l'autre des descendants qui enfante. }

Enfin l'évènement $X_2 = 4$ est plus simple à calculer. Il ne se réalise que si Puyehne a eu deux descendants et si chaque descendants a encore deux descendants. 
\begin{center}
\fbox{$
P(X_2 = 4) = p^3 
$}
\end{center}
On vérifie que 
\begin{align*}
P(X_2 = 0) + P(X_2 = 2) + P(X_2 = 4) & = (1-p)(1 + p - p^2) + 2 p^2 (1 -p) + p^3 \\
& = 1 + p - p^2 - p -p^2 + p^3  + 2p^2 - 2p^3 + p^3  \\
& = 1
\end{align*}

Déterminer la loi de $X_1$ et $X_2$.
\item
$X_1(\Omega) = \{ 0,2 \}$ donc \begin{center}
\fbox{ $(X_1=0,X_1=2) $ est un système complet d'événements. }
\end{center}
\item En sachant que Puyehne a eu deux descendants,sa lignée s'éteindra à la $n+1$-ième génération si et seulement si la lignée de ses deux descendants sont éteintes à la $n$-ième génération. Ainsi 
 \begin{center}
 \fbox{$P_{X_1=2}(X_{n+1}=0)=P(X_n=0)^2$.}
 \end{center}
\item
On a évidemment $P_{X_1 = 0} (X_{n+1} = 0) = 1$ (si la lignée s'éteint à la première descendance, elle est éteinte à la $n$-ième). D'après la formule des probabilités totales appliquées à $(X_1=0,X_1=2) $, on a 
\begin{align*}
P(X_{n+1} = 0) & = P(X_1 = 0) P_{X_1 = 0} (X_{n+1} = 0) + P(X_1 = 2) P_{X_1 = 2} (X_{n+1} = 0) \\
& \boxed{= 1-p + p P(X_n = 0)^2}
\end{align*}

\item On pose $u_n = P(X_n = 0)$. On remarque que $u_0 = P(X_0 = 0) = 0$ (car $X_0$ est une loi certaine valant $1$) et que 
$$
u_{n+1} = 1 - p + p u_n^2 = f(u_n)
$$
On retrouve alors la suite étudiée à la première partie. Il y a alors 2 cas
\begin{itemize}
\item Cas ou $p \leq \dfrac{1}{2}$. Dans ce cas 
\begin{center}
\fbox{$
\lim\limits_{n\to+\infty}P(X_n=0) = 1
$}
\end{center}
Si la capacité du Condor à se reproduire est inférieur à 1/2, alors sa lignée s'éteindra presque surement (et il est probable que le Condor serait un animal en voie d'extinction). 
\item Cas ou $p > \dfrac{1}{2}$. Dans ce cas 
\begin{center}
\fbox{$
\lim\limits_{n\to+\infty}P(X_n=0) = \dfrac{1-p}{p}
$}
\end{center}
La probabilité que la lignée du Condor s'éteigne est $\dfrac{1-p}{p}$. 
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exo}

\subsection*{Exercice 4}


Deux personnes $P_{1}$ et $P_{2}$ ont rendez-vous dans un complexe form\'{e}
de cinq sites $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, $S_{4}$ et $S_{5}$, dispos\'{e}s en
pentagone et reli\'{e}s par des routes, commel'illustre le sch\'{e}ma
ci-contre.Ils arrivent au rendez-vous \`{a} I'heure pr\'{e}vue, mais suite 
\`{a} un malentendu, $P_{1}$ se pr\'{e}sente au site $S_{1}$ et $P_{2}$ au
site $S_{2}$.Ils d\'{e}cident alors de partir \`{a} la recherche I'un de
l'autre. Ils empruntent les diff\'{e}rentes routes du complexe, avec les r%
\`{e}gles suivantes : .

\begin{itemize}
\item \`{a} partir d'un site, chacun choisit de se rendre sur l'un des deux
sites voisins, les deux possibilit\'{e}s \'{e}tant \'{e}quiprobables;

\item les d\'{e}placements des deux personnes se font simultan\'{e}ment;

\item tous les choix de d\'{e}placement se font ind\'{e}pendamment les uns
des autres.
\end{itemize}

Ils continuent \`{a} se d\'{e}placer ainsi jusqu'\`{a} se retrouver \'{e}%
ventuellement sur un m\^{e}me site (ils ne se rencontrent pas le long des
routes). Une fois retrouv\'{e}s, ils ne se d\'{e}placent plus.{\Large %
\medskip }

\textbf{A. Mod\'{e}lisatlon du probl\`{e}me}

Pour tout entier naturel n, on d\'{e}finit les trois \'{e}v\'{e}nements $%
A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$ :

\begin{itemize}
\item . $A_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont sur le m\^{e}me site apr%
\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $

\item $B_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont sur des sites adjacents apr%
\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $

\item $C_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont \`{a} deux routes de distance
apr\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $
\end{itemize}

\begin{center}
On note $a_{n}$, $b_{n}$, $c_{n}$ les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}%
nements $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$.
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La distance maximale entre deux sites est de deux routes ;\newline
Donc $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$.sont les seuls possibles.\newline
Comme ils sont de plus incompatibles, \newline
\textsl{Conclusion : }\fbox{ils forment un syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}%
nements.}

\item A l'instant $0,$ ils sont \`{a} une route de distance donc \newline
\textsl{Conclusion : }\fbox{$a_{0}=0,\ b_{0}=1,\ c_{0}=0$}

\item 
\begin{enumerate}
\item Si les deux sont \`{a} deux routes de distance, ils se retrouvent sur
le m\^{e}me site \`{a} condition qu'ils se dirigent tout deux dans la
direction qui les rapproche.

Chacun le fait avec une probabilt\'{e} de $\frac{1}{2}$ donc \textsl{%
Conclusion : }\fbox{$\mathrm{P}_{C_{n}}\left( A_{n+1}\right) =\frac{1}{4}$.}

\item S'ils sont tous les deux sur le m\^{e}me site, ils ne bougent plus,
donc ils restent ensemble.

\textsl{Conclusion : }\fbox{$P_{A_{n}}\left( A_{n+1}\right) =1$}

\item Pour cette m\^{e}me raison : $\mathrm{P}_{A_{n}}\left( B_{n+1}\right)
=0:\mathrm{P}_{A_{n}}\left( C_{n+1}\right) =0$

$\mathrm{P}_{B_{n}}\left( A_{n+1}\right) =0$ (quand ils sont \`{a} une route
de distance, car ils se croisent ou ils s'\'{e}loignent

$\mathrm{P}_{B_{n}}\left( B_{n+1}\right) =\frac{3}{4}$ (ils se d\'{e}placent
tous deux dans le m\^{e}me sens ; horaire avec une probabilti\'{e} $\frac{1}{%
2}\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ ou antihoraire, ou ils se croisent)

$\mathrm{P}_{B_{n}}\left( C_{n+1}\right) =\frac{1}{4}$ (ils se fuient)

$\mathrm{P}_{C_{n}}\left( A_{n+1}\right) =\frac{1}{4}$ (dans le sens oppos%
\'{e} qui les r\'{e}uni)

$\mathrm{P}_{C_{n}}\left( B_{n+1}\right) =\frac{1}{4}$ (dans le sens oppos%
\'{e} qui les rapproche)

$\mathrm{P}_{C_{n}}\left( C_{n+1}\right) =\frac{1}{2}$ (ils se d\'{e}placent
tous deux dans le m\^{e}me sens)

\end{enumerate}

\item $\left( A_{n},B_{n},C_{n}\right) $ est un syt\`{e}me complet d'\'{e}v%
\'{e}nements donc

$\mathrm{P}\left( A_{n+1}\right) =\mathrm{P}_{A_{n}}\left( A_{n+1}\right) 
\mathrm{P}\left( A_{n}\right) +\mathrm{P}_{B_{n}}\left( A_{n+1}\right) 
\mathrm{P}\left( B_{n}\right) +\mathrm{P}_{C_{n}}\left( A_{n+1}\right) 
\mathrm{P}\left( C_{n}\right) $

Donc $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2}c_{n}$ et de m\^{e}me

\begin{center}
\fbox{pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ : $\left \{ 
\begin{array}{c}
a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{4}c_{n} \\ 
b_{n+1}=\frac{3}{4}b_{n}+\frac{1}{4}c_{n} \\ 
c_{n+1}=\frac{1}{4}b_{n}+\frac{1}{2}c_{n}%
\end{array}%
\right. $
}
\end{center}
\textbf{N.B. V\'{e}rifier la coh\'{e}rence ! On doit avoir $a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1} = 1$}

\item 
\begin{enumerate}
\item On a alors \ 
\begin{eqnarray*}
b_{n+2} &=&\frac{3}{4}b_{n+1}+\frac{1}{4}c_{n+1} \\
&=&\frac{3}{4}b_{n+1}+\frac{1}{4}\left( \frac{1}{4}b_{n}+\frac{1}{2}%
c_{n}\right) \\
&=&\frac{3}{4}b_{n+1}+\frac{1}{16}b_{n}+\frac{1}{8}c_{n}
\end{eqnarray*}

et comme $b_{n+1}=\frac{3}{4}b_{n}+\frac{1}{4}c_{n}$ on a $%
c_{n}=4b_{n+1}-3b_{n}$ et donc 
\begin{eqnarray*}
b_{n+2} &=&\frac{3}{4}b_{n+1}+\frac{1}{16}b_{n}+\frac{1}{8}\left(
4b_{n+1}-3b_{n}\right) \\
&=&\frac{5}{4}b_{n+1}-\frac{5}{16}b_{n}
\end{eqnarray*}

\item La suite $\left( b_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ est donc r\'{e}%
surrente lin\'{e}aire du second ordre \`{a} coefficients constants.

Son \'{e}quation caract\'{e}ristique est $r^{2}-\frac{5}{4}r+\frac{5}{16}=0$
de discriminant $\Delta =\frac{25}{16}-\frac{20}{16}=\frac{5}{16}$ et donc
de racines $\displaystyle \alpha =\frac{\frac{5}{4}-\frac{r5}{4}}{2}=\frac{5-%
\sqrt{5}}{8}$ et $\beta =\frac{5+\sqrt{5}}{8}$

Donc pour tout entier $n:b_{n}=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}$ avec $A$ et $B$
solutions de

$\left \{ 
\begin{array}{c}
b_{0}=1=A+B \\ 
b_{1}=\frac{3}{4}=\frac{5-\sqrt{5}}{8}A+\frac{5+\sqrt{5}}{8}B%
\end{array}%
\right. $ donc $\left \{ 
\begin{array}{c}
B=1-A \\ 
\frac{-2\sqrt{5}}{8}A=\frac{3}{4}-\frac{5+\sqrt{5}}{8}=\frac{1-\sqrt{5}}{8}%
\end{array}%
\right. $ et $\left \{ 
\begin{array}{c}
B=\frac{5+\sqrt{5}}{10} \\ 
A=\frac{5-\sqrt{5}}{10}%
\end{array}%
\right. $

\textsl{Conclusion : }\fbox{$b_{n}=\frac{5-\sqrt{5}}{10}\left( \frac{5-\sqrt{%
5}}{8}\right) ^{n}+\frac{5+\sqrt{5}}{10}\left( \frac{5+\sqrt{5}}{8}\right) =%
\frac{4}{5}\left( \alpha ^{n+1}+\beta ^{n+1}\right) $}

\item Et comme $c_{n}=4b_{n+1}-3b_{n}$ on a alors :%
\begin{eqnarray*}
c_{n} &=&4\frac{4}{5}\left( \alpha ^{n+2}+\beta ^{n+2}\right) -3\frac{4}{5}%
\left( \alpha ^{n+1}+\beta ^{n+1}\right) \\
&=&\frac{4}{5}\left( \left( 4\alpha -3\right) \alpha \cdot \alpha
^{n}+\left( 4\beta -3\right) \beta \cdot \beta ^{n+1}\right)
\end{eqnarray*}%
avec .%
\begin{eqnarray*}
\left( 4\alpha -3\right) \alpha &=&\left( 4\frac{5-\sqrt{5}}{8}-3\right) 
\frac{5-\sqrt{5}}{8} \\
&=&-\frac{1}{4}\sqrt{5} \\
\left( 4\beta -3\right) \beta &=&\left( 4\frac{5+\sqrt{5}}{8}-3\right) \frac{%
5+\sqrt{5}}{8} \\
&=&\frac{1}{4}\sqrt{5}
\end{eqnarray*}%
\textsl{Conclusion : }\fbox{$c_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5}\left( \beta
^{n}-\alpha ^{n}\right) $}
\end{enumerate}

\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item Comme $\left( A_{n},B_{n},C_{n}\right) $ est un syst\`{e}me complet d'%
\'{e}v\'{e}nements, $a_{n}+b_{n}+c_{n}=1$ et 
\begin{eqnarray*}
a_{n} &=&1-b_{n}-c_{n} \\
&=&1-\frac{\sqrt{5}}{5}\left( \beta ^{n}-\alpha ^{n}\right) -\frac{4}{5}%
\left( \alpha ^{n+1}+\beta ^{n+1}\right) \\
&=&1-\alpha ^{n}\left( -\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{4}{5}\alpha \right) -\beta
^{n}\left( \frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{4}{5}\beta \right) \\
&=&1-\alpha ^{n}\left( -\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{5-\sqrt{5}}{10}\right)
-\beta ^{n}\left( \frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)
\end{eqnarray*}
\textsl{Conclusion : }\fbox{$a_{n}=1-\alpha ^{n}\frac{5-3\sqrt{5}}{10}-\beta
^{n}\frac{5+3\sqrt{5}}{10}$}

\item Et comme $\left \vert \alpha \right \vert <1$ et $\left \vert \beta
\right \vert <1$ (car $2<\sqrt{5}<3$ ) alors $\alpha ^{n}\rightarrow 0$ et $%
\beta ^{n}\rightarrow 0$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=1$}

\item D'après la question précédente, la probabilité que deux personnes se retrouvent tend vers 1. Donc la probabilité que deux personnes ne se retrouvent jamais est nulle. Pourtant, cet évènement n'est pas impossible ! Comment cela se fait-il ? Réponse dans quelques semaines. 

\textsl{Conclusion : }\fbox{Les deux personnes se retrouveront presque
surement.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}